Математика - (греч . mathematike, от mathema - наука), наука, в которой изучаются пространственные формы и количественные отношения. До нач. 17 в. математика - преимущественно наука о числах, скалярных величинах и сравнительно простых геометрических фигурах; изучаемые ею величины (длины, площади, объемы и пр.) рассматриваются как постоянные. К этому периоду относится возникновение арифметики, геометрии, позднее - алгебры и тригонометрии и некоторых частных приемов математического анализа. Областью применения математики являлись: счет, торговля, землемерные работы, астрономия, отчасти архитектура.
В 17 и 18 вв. потребности бурно развивавшегося естествознания и техники (мореплавания, астрономии, баллистики, гидравлики и т. д.) привели к введению в математику идей движения и изменения, прежде всего в форме переменных величин и функциональной зависимости между ними. Это повлекло за собой создание аналитической геометрии, дифференциального и интегрального исчислений. В 18 в. возникают и развиваются теория дифференциальных уравнений, дифференциальная геометрия и т. д. В 19-20 вв. математика поднимается на новые ступени абстракции. [spoiler]Обычные величины и числа оказываются лишь частными случаями объектов, изучаемых в современной алгебре; геометрия переходит к исследованию "пространств", весьма частным случаем которых является евклидово пространство. Развиваются новые дисциплины: теория функций комплексного переменного, теория групп, проективная геометрия, неевклидова геометрия, теория множеств, математическая логика, функциональный анализ и др. Практическое освоение результатов теоретического математического исследования требует получения ответа на поставленную задачу в числовой форме. В связи с этим в 19-20 вв. численные методы математики вырастают в самостоятельную ее ветвь - вычислительную математику. Стремление упростить и ускорить решение ряда трудоемких вычислительных задач привело к созданию вычислительных машин. Потребности развития самой математики, "математизация" различных областей науки, проникновение математических методов во многие сферы практической деятельности, быстрый прогресс вычислительной техники привели к появлению целого ряда новых математических дисциплин; таковы, напр., теория игр, теория информации, теория графов, дискретная математика, теория оптимального управления.
Error73,Всю жизнь ненавидела математику, но с удовольствием прочитала данную статью.Очень интересно... Все тайное рано или поздно становится явным...(Сократ)
1. Первый связан со свойствами числа 12345679. Если это число умножить на 9, то в результате получается число, записанное только цифрой 1; если умножить на 18, то получится число, записанное только цифрой 2, а если умножить на 27, как вы думаете, какой цифрой будет записано полученное число? Конечно, 3!
2. Есть числа с интересными свойствами. Если число 12 записать наоборот (21), то квадрат вновь образованного числа окажется квадратом числа 12, также записанного наоборот.
3. Как назвать одним словом сумму длин всех сторон? (Периметр.) 4. Как найти неизвестное уменьшаемое? (К разности прибавить вычитаемое.) 5. Какой цифрой заканчивается произведение всех чисел от 7 до 81? (0.) 6. Наименьшее натуральное число. (1.) 7. Как называется сотая часть числа? (Процент.) 8. Чему равна сумма чисел от -100 до 100? (0.) 9. Какую часть часа составляют 20 минут? (1/3.) 10. Какие три числа, если их сложить или перемножить, дают один и тот же результат? (1,2,3) 11. Прибор для измерения углов. (Транспортир) 12. Как называется число, делящееся без остатка? (Чётное)
Отвернитесь и предложите двум участникам фокуса, пусть это будут Женя и Шура, взять одному карандаш, а другому резинку. Далее скажите:
— Обладателю карандаша назначаю число 7, обладателю резинки — число 9 (числа могут быть и иными, причем обязательно одно простое, а другое составное, но не делящееся на первое).
— Женя, умножь свое число на 2, а Шура на 3 (одно из этих чисел должно целое число раз содержаться в назначенном вами составном числе, как, например, 3 в 9, а другое должно быть с ним взаимно простым, как например, 3 и 2).
— Сложите результаты и скажите мне сумму или скажите, делится ли эта сумма без остатка на 3 (на то данное вами число, которое содержится множителем в назначенном составном числе). Узнав это, вы тотчас можете определить, кто взял карандаш, а кто резинку.
В самом деле, если полученная сумма делится на 3, — это значит, что на 3 умножено число, не делящееся на 3, то есть 7. Зная, кто умножал свое число на 3 (Шура) и что число 7 назначено обладателю карандаша, вы заключаете, что карандаш у Шуры. Наоборот, если полученная сумма не делится на 3, то это значит, что на 3 было умножено число, делящееся на 3, то есть 9. В этом случае у Шуры — резинка.
Какой знак вместо плюса используют ученики израильских школ? Слышал, что в Израильских религиозных школах не пишут плюс. Это действительно такой серьёзный запрет? А можно ли рисовать косой крест? А если еврей работает художником и по работе ему приходится рисовать церкви? Действительно, чувствительные к своей истории евреи стараются не писать в рукописных текстах знак “плюс” из-за его сходства с крестом. Вместо него используют знак, повторяющий графическое изображение русской печатной буквы “т” в перевернутом виде.
Не вдаваясь в мировоззренческие вопросы, отметим один достаточно ясный и весьма болезненный факт: на протяжении полутора тысяч лет христиане — совместно с церковью — систематически преследовали евреев. Это преследование было жестоким, а порой — и кровавым.
В какой-то временной период гонений было меньше, в какой-то — больше, в какой-то стране с евреями поступали “мягче”, в какой-то — жестче... Но общий знаменатель — один: преследование, преследование и преследование. И почти всегда — “под знаком креста”.
И поэтому возник и распространился обычай — заменять знак “плюс” на другой. Знак равенства между крестом и преследованиями в течение полторы тысячи лет — для евреев это все же немало.
Что такое косой крест, о котором Вы говорите, я не знаю. Но если имеется в виду знак умножения (как буква “х”), писать его, конечно же, можно.
А теперь — о художнике-еврее и церквях.
Обратите внимание на первую фразу моего ответа — “чувствительные к своей истории евреи...”. Поскольку мы все должны стремиться к тому, чтобы всеми чувствами ощущать собственную историю, ибо так мы можем заслужить лучшее будущее, полагаю, что рисовать церкви художнику-еврею не следует. Более того, это высшей степени неуместно. А расписывать стены, делать витражи и мозаики в самой церкви — еврею вообще строжайше запрещено. Еврею нельзя даже входить (пусть — “просто так”) в помещения, где проводят службы представители других религий. В противном случае еврей как бы признает законность служения кому-то или чему-то, кроме Всевышнего.
Вы пишете: “по работе ему приходится рисовать церкви”. Конечно, заработок для человека очень важен. Но есть вещи и поважнее. Всевышний, безусловно, вознаградит того, кто поставил Его честь выше собственного материального интереса.
Добавлено (20.10.2010, 23:38) --------------------------------------------- Когда празднуют день числа Пи? У числа Пи есть два неофициальных праздника. Первый — 14 марта, потому что этот день в Америке записывается как 3.14. Второй — 22 июля, которое в европейском формате записывается 22/7, а значение такой дроби является достаточно популярным приближённым значением числа Пи.
Добавлено (20.10.2010, 23:54) --------------------------------------------- Парадокс дней рождения Парадо́кс дней рожде́ния — утверждение, гласящее, что если дана группа из 23 или более человек, то вероятность того, что хотя бы у двух из них дни рождения (число и месяц) совпадут, превышает 50 %. Для группы из 60 или более человек вероятность совпадения дней рождения хотя бы у двух её членов составляет более 99 %, хотя 100 % она достигает, только когда в группе не менее 367 человек (с учётом високосных лет).
Такое утверждение может показаться противоречащим здравому смыслу, так как вероятность одному родиться в определённый день года довольно мала, а вероятность того, что двое родились в конкретный день — ещё меньше, но является верным в соответствии с теорией вероятностей. Таким образом, оно не является парадоксом в строгом научном смысле — логического противоречия в нём нет, а парадокс заключается лишь в различиях между интуитивным восприятием ситуации человеком и результатами математического расчёта.
Интуитивное восприятие Один из способов понять на интуитивном уровне, почему в группе из 23 человек вероятность совпадения дней рождения у двух человек столь высока, состоит в осознании следующего факта: поскольку рассматривается вероятность совпадения дней рождения у любых двух человек в группе, то эта вероятность определяется количеством пар людей, которые можно составить из 23 человек. Так как порядок людей в парах не имеет значения, то общее число таких пар равно числу сочетаний из 23 по 2, то есть 23 × 22/2 = 253 пары. Посмотрев на это число, легко понять, что при рассмотрении 253 пар людей вероятность совпадения дней рождения хотя бы у одной пары будет достаточно высокой.
Ключевым моментом здесь является то, что утверждение парадокса дней рождения говорит именно о совпадении дней рождения у каких-либо двух членов группы. Одно из распространённых заблуждений состоит в том, что этот случай путают с другим — похожим, на первый взгляд, — случаем, когда из группы выбирается один человек и оценивается вероятность того, что у кого-либо из других членов группы день рождения совпадёт с днем рождения выбранного человека. В последнем случае вероятность совпадения значительно ниже.
Есть и такие закономерности в математике, которые приводят к заранее намеченному результату выполнения определенных действий, каковы бы ни были исходные числа. Отсюда возникают очень интересные способы «угадывания» результата вычислений, ничего не спрашивая у задумавшего число.
Следующие два фокуса иллюстрируют это положение. Эти фокусы можно проводить как с одним участником, так и с целой группой участников.
Фокус 1. Предложите умножить задуманное число на произвольно выбранное вами число, а к полученному произведению прибавить число, тоже произвольно вами выбранное. Сумму предложите разделить на третье вами же произвольно данное число. Вы в это время разделите в уме первое из названных вами чисел на третье и какое число у вас получится, предложите участнику фокуса столько раз отнять от полученного им частного задуманное число. Этот последний результат вы и угадаете. Он будет равен частному от деления второго из предложенных вами чисел на третье.
Пример. Предположим, задумано 6. Вы предлагаете умножить задуманное число на 4 (заметьте для себя это число, как первое). Получается 24. Предлагаете прибавить 15 (второе число); получается 39. Предлагаете разделить на 3 (третье число); получается 13. Вычисления в уме: 4:3=1 1/3. Предлагаете участнику фокуса отнять от полученного им частного (от 13) задуманное число да еше одну треть его. Он отнимает 6 да еще 2 — всего 8 и получает 13 — 8 = 5.
Вы в это время выполняете в уме деление второго из предложенных вами чисел (15) на третье (на 3) и тоже получаете число 5, которое и объявляете как ожидаемый результат.
Докажите, что такое совпадение результатов не случайно, а вполне закономерно.
Фокус 2. Напишите какое-нибудь число между 1 и 50 на кусочке бумаги и спрячьте, не показывая участникам фокуса.
В свою очередь, пусть каждый участник напишет, какое он пожелает, число, большее, чем 50, но не превышающее 100, и, не показывая вам, произведет следующие действия:
1)прибавит к своему числу 99 — х, где х — число, написанное вами на кусочке бумаги (эту разность вы в уме подсчитайте и назовите участникам фокуса только готовый результат);
2)зачеркнет в получившейся сумме крайнюю левую цифру и эту же цифру прибавит к оставшемуся числу;
3)получившееся число вычтет из числа, первоначально им написанного.
В результате у всех участников получится одно и то же число, именно то, которое было вами предварительно спрятано.
Пример. Число, написанное вами и спрятанное: 18; число, написанное одним из участников: 64. Предлагаете прибавить 99—18 = 81. Получается: 64 + 81 = 145.
Цифра 1 зачеркивается и прибавляется к оставшемуся числу: 45+1 = 46. Разность между задуманным числом (64) и полученным (46),
Cто интересных чисел Существуют ли не интересные числа? На этот вопрос мэтр популярной математики Мартин Гарднер дает отрицательный ответ с обоснованием: разделим все числа на две части – интересные и не интересные. Самое маленькое число из не интересной части автоматически становится интересным и переходит в «интересную» часть. Продолжаем процесс до бесконечности… Это, конечно, шутка, но, тем не менее, предлагаю вашему вниманию первую сотню интересных чисел. Это начало более крупной задумки, ее, как теперь модно говорить, «демо-версия», возможны неточности в терминологии или даже ошибки.
0 (нуль) Величайшее изобретение человеческого разума, давшего исходный импульс развитию математике как таковой. Согласитесь – невероятно трудно придумать «ничего», дать ему имя и использовать в вычислениях. Интересная статья Роберта Каплана об истории «нуля» напечатана в октябрьском номере этого года Scientific American и начинается с таинственных закорючек в клинописных посланиях Месопотамии 5000 летней давности. Самые интересные свойства – на нуль нельзя делить, нуль, будучи показателем степени, приравнивает любое число к единице. Умножение на нуль дает нуль. Сложение и вычитание его результат не меняет. Использование нуля позволяет создавать позиционные системы счисления (в отличие, например, от римских цифр, обходившихся без нуля). О следующих числах предельно кратко.
1 Дает тождество при умножении. Равно любому числу в нулевой степени. 2 Единственное четное простое число. 3 Число размерностей пространства, в которых мы живем. Единственное число, равное сумме всех меньших чисел – естественно, речь все время идет о целых числах. Имеет горизонтальную ось симметрии. 4 Наименьшее число цветов для раскраски карты на плоскости. Тетраэдальное число. 5 Число Платоновых многогранников. Пятое число из последовательности Фибоначчи. Пирамидальное число. 6 =3! Наименьшее совершенное число. Треугольное число. 7 Наименьшее число сторон многоугольника, которым нельзя замостить плоскость. Шестиугольное число. 8 Наибольший куб в последовательности Фибоначчи. Имеет горизонтальную и вертикальную оси симметрии. 9 Максимальное число кубов, необходимое для представления в виде их суммы любого положительного целого числа. 10 Основание нашей системы счисления. Число топологически различных фигур из 5 спичек. Тетраэдальное и треугольное число. 11 Наибольшее количество кусков, на которые делят круг 4 прямые линии. Имеет горизонтальную ось симметрии. 12 Наименьшее число, имеющее 4 делителя. Количество плиток пентамино. 13 Число Архимедовых многогранников. Число из последовательности Фибоначчи. Перестановочное (с 31) простое число. 14 Четвертое число Каталана. Пирамидальное число. 15 Четвертое число последовательности Белла. Треугольное число. Произведение первых трех нечетных чисел. Количество сочетаний четырех чисел из шести. 16 Единственное число (кроме 1), выражаемое в форме xy=yx , а именно 24=42. 17 Количество вариантов узоров, построенных с использованием сдвигов, поворотов и отражений. Перестановочное (с 71) простое число. 18 Единственное число, равное удвоенной сумме его цифр. 19 Максимальное число четвертых степеней чисел, с помощью суммы которых можно выразить любое число. Шестиугольное число. 20 Число топологически различных фигур из 6 спичек. Тетраэдальное число. Количество сочетаний трех чисел из шести. 21 Число из последовательности Фибоначчи. Треугольное число. Количество сочетаний двух или четырех чисел из шести. 22 Количество кусков, на которые делят круг 6 прямых линий. 23 Количество деревьев с восемью звеньями. 24 =4! Самое большое число, которое делится на все числа, меньшие корня из него. 25 Наименьшее число, которое можно представить как сумму двух квадратов. 26 Наименьшее число не-палиндром, квадратом которого является палиндром. 27 Единственное (возможно?) число, у которого сумма цифр (9) суммы кубов цифр (8+343=351) с суммой цифр (18) куба суммы цифр (729) равна самому числу. 28 Второе совершенное и одновременно треугольное число. 29 Седьмое число Люка.Наибольшее количество кусков, на которые делят круг 7 прямых линий. 30 Самое большое число, у которого все числа меньшие его и взаимно простые с ним простые. Пирамидальное число. 31 Простое число Мерсенна. Перестановочное (с 13) простое число. 32 Наименьшая 5-ая степень числа (исключая 1) 33 Самое большое число, не равное сумме разных треугольных чисел. Имеет горизонтальную ось симметрии. 34 Наименьшее число такое, что имеет равное количество делителей с ближайшими соседними числами. Число из последовательности Фибоначчи 35 Количество плиток гексамино. Тетраэдальное число. Количество сочетаний трех или четырех чисел из семи. 36 Наименьшее число (кроме 1), которое одновременно и квадратное и треугольное. 37 Максимальное количество 5х степеней чисел, необходимое для выражения их суммой любого числа. Количество кусков, на которые делят круг 8 прямых линий. Шестиугольное число. Перестановочное (с 73) простое число. Последнее на этой странице. 38 Наибольшее римское число (по длине) в лексикографической записи (XXXVIII). 39 Три делителя этого числа пишутся одними и теми же цифрами. 40 Максимальное число сфер, касающихся каждой сферы при плотнейшей упаковке их в пятимерном пространстве. Количество расстановок 7 ферзей на доске 7*7 не угрожающих друг другу. 41 Наименьшее число, не выражаемое в форме |2x – 3y|. А его квадрат содержит в написании два квадрата. 42 Пятое число Каталана. Количество вариантов плоскостей гексагексафлексагона. 43 Количество гептиамондов. (Фигуры из 7 правильных треугольников) 44 Количество вариантов перемешивания пяти предметов. 45 число Капрекара. Треугольное число. Количество сочетаний двух или восьми чисел из десяти. 46 Количество участков, на которые делят круг 9 прямых линий. 47 Наибольшее число кубов, из которых нельзя сложить куб. Количество деревьев с девятью звеньями. 48 Наименьшее число,имеющее 10 делителей. 49 Наименьшее число такое, что оно само и его ближайшие соседи имеют среди делителей квадраты. 50 Наименьшее число, которое можно представить как сумму квадратов двумя способами. Число вариантов складывания полоски из 5 марок. 51 Шестое число Мотзкина. 52 Это пятое число Белла. 53 Является одним из чисел n, которые служат делителем суммы n первых простых чисел. 54 Наименьшее число, которое может быть представлено суммой трех квадратов тремя способами. 55 Наибольшее треугольное число среди чисел Фибоначчи. Пирамидальное число. 56 Количество вариантов Латинских квадратов. Тетраэдальное число. 57 = 111 по основанию 7. 58 Половина, сумма цифр и сумма квадратов цифр – простые числа. 59 Наименьшее число, представляемое четвертыми степенями чисел в форме a4+b4-c4. 60 Наименьшее число, имеющее своими делителями все числа от 1 до 6. 61 Это шестое число Эйлера. Шестиугольное число. 62 Наименьшее число, которое может быть представлено суммой трех квадратов двумя способами. 63 Количество вариантов упорядочивания множества из 5 элементов. 64 Наименьшее число, имеющее 7 делителей. 65 Еще одно (как и 50) число, которое можно представить как сумму квадратов двумя способами. 66 Треугольное число. Количество сочетаний двух или десяти чисел из двенадцати. 67 Наименьшее число, которое будет палиндромным, если его представить по основанию 5 или 6. 68 Попытка проследить последовательные суммы квадратов цифр сразу обрывается, так как ряд замыкается. 69 интересно тем, что n2 и n3 вместе содержат все цифры. 70 Количество сочетаний четырех элементов из восьми. 71 Делитель суммы всех простых чисел, меньших его самого. Перестановочное (с 17) простое число. 72 Максимальное число сфер, касающихся каждой сферы при плотнейшей упаковке их в шестимерном пространстве. 73 Наименьшее из чисел(исключая 1), которое меньше удвоенного числа с перевернутыми цифрами (37*2=74). Перестановочное (с 37) простое число. 74 Одно из чисел с таким свойством, что сумма его с перевернутым числом равна квадрату суммы его цифр (74+47=11^2). Число областей, на которые делят плоскость 9 пересекающихся окружностей. 75 Если сложить сумму цифр с их произведением и повторять эту операцию, то вскоре зациклимся на числе 39. 76 Количество треугольников, которые можно сложить из зубочисток 6 цветов. 77 Наибольшее число, которое не может быть представлено суммой ряда чисел, начиная с 1. 78 Наименьшее число, которое может быть представлено суммой четырех квадратов тремя вариантами. Треугольное число. Количество сочетаний двух или одиннадцати чисел из тринадцати. 79 Перестановочное простое число, так как 97 тоже простое. 80 Наименьшее число n такое, что n и n+1 оба являются произведениями четырех и более простых чисел. 81 Квадрат суммы цифр. 82 Пятиугольное число. 83 Еще одно из чисел с таким свойством, что сумма его с перевернутым числом равна квадрату суммы его цифр. 84 Тетраэдальное число. Количество сочетаний трех или шести чисел из девяти. Количество областей, на которые делят пространство 7 сфер. 85 Если взять сумму квадратов цифр и повторять эту операцию, то вскоре попадем в замкнутое кольцо, в котором, что самое интересное, число 85 не участвует. 86 = 222 по основанию 6. 87 Единственное ничем не примечательное число в первой сотне, этим и интересно 03.01.2002 Василий Данилов прислал сообщение о том, что 87 – сумма квадратов первых 4 простых чисел 87 = 22 + 32 + 52 + 72 с сылкой на источник! Зайдите – это интересно! Я послал письмо Эрику Фридману и он сразу внес эту корректировку в свой список. 88 Единственное число из двух одинаковых цифр, квадрат которого содержит две пары одинаковых цифр. Имеет горизонтальную и вертикальную оси симметрии. 89 = 81 + 92 Число из последовательности Фибоначчи. 90 Число десятков равно количеству делителей (не считая 1) 91 Запишется как 10101 по основанию 3. Шестиугольное число. Самое большое число, для которого выполняется равенство 12+22+32+…+n2 = 1+2+3+…+m, поэтому оно пирамидальное и еще и треугольное число. 92 Число расстановок восьми ферзей на шахматной доске так, чтобы они не угрожали друг другу. Число областей, на которые делят плоскость 10 пересекающихся окружностей. 93 = 333 по основанию 5. 94 Половина, сумма цифр и сумма квадратов цифр – простые числа. 95 Количество вариантов разделения плоскости на 10 областей 96 Наименьшее число,которое можно представить как сумму квадратов четырьмя способами. 97 Наименьшее из чисел, три первых кратных которого содержат цифру 9. Перестановочное (с 79) простое число. 98 Наименьшее из чисел, пять первых кратных которого содержат цифру 9. 99 Число Капрекара, так как 992=9801, а 98+01=99. 100 Наименьший квадрат, равный сумме кубов четырех последовательных чисел.
Всем известна поговорка: «Ложка дегтя портит бочку меда».
Предположим, действительно какой-то озорник из бутылки с дегтем перелил ложку дегтя в банку с медом. Перемешал тщательно, а затем такую же ложку смеси перелил из банки в бутылку с дегтем.
Чего получилось больше: меда в бутылке с дегтем или дегтя в банке с медом?
Положим теперь, что эту операцию переливания по ложке смеси туда и обратно озорнику удалось повторить несколько раз.
Наш вопрос тот же. А каков ваш ответ?
Надеемся, вы решили эту задачу?! А каким способом: арифметически или предпочли обратиться за помощью к уравнениям? На любом из этих путей, наверно, пришлось немало повозиться с дробями и преобразованиями?
Правильный ответ: одинаково. Если он у вас получился, то не показался ли неожиданным и удивительным?
Действительно, при любом числе переливаний меда в бутылке с дегтем окажется столько же, сколько дегтя в банке с медом!
Но для получения правильного ответа к этой задаче не понадобятся никакие вычисления, если отсеять из ее условия несущественные сведения — своего рода камуфляж.
Так как по условию задачи о мёде и дегте переливается какое-то количество смеси из бутылки в банку и такое количество смеси переливается обратно, то совершенно не существенно ни количество меда в банке, ни количество дегтя в бутылке, ни перемешивание, ни состав смеси в данной ее порции, ни количество переливаний туда и обратно. Суть в том, что после каждой пары переливаний объем содержимого в банке и в бутылке остается таким же, как и вначале. А если так, то очевидно, что в бутылку с дегтем должно поступить ровно столько меда, сколько дегтя из бутылки поступило в банку с медом.
Вот и все решение задачи. Отбрасывание несущественных сведений, которыми естественно обрастает задача, возникающая из практики, до тех пор, пока останутся только существенные, делает задачу «прозрачной» для решения.
Такова суть еще одной скромной тропинки в математике.
Error73, так интересно столько всего узнала alexja, тоже безумно интересно, но может будешь под спойлер прятать очень длинные статьи, чтоб форум так не растягивался?
Какой математик точно предсказал день своей смерти с помощью арифметической прогрессии? Английский математик Абрахам де Муавр в престарелом возрасте однажды обнаружил, что продолжительность его сна растёт на 15 минут в день. Составив арифметическую прогрессию, он определил дату, когда она достигла бы 24 часов — 27 ноября 1754 года. В этот день он и умер.
Добавлено (20.10.2010, 02:49) --------------------------------------------- Теорема о двух милиционерах Теорема о двух милиционерах — теорема в математическом анализе о существовании предела у функции, которая «зажата» между двумя другими функциями, имеющими одинаковый предел. Формулируется следующим образом: Если функция y = f(x) такая, что для всех x в некоторой окрестности точки a, причем функции и ψ(x) имеют одинаковый предел при то существует предел функции y = f(x) при равный этому же значению, то есть Название и зарубежная терминология Название теоремы происходит из того факта, что если два милиционера держат между собой преступника и при этом идут в камеру, то заключённый также вынужден туда идти.
В разных странах эта теорема называется по разному. Теорема сжатия, теорема о двух карабинерах, теорема о сэндвиче (или правило сэндвича), теорема о двух милиционерах, теорема о трёх струнах, теорема о двух жандармах, теорема о двух городовых и пр.
а я любил и люблю 
